Ciało uporządkowane

Ciało uporządkowane – ciało $K,$ w którym wyróżniony jest podzbiór $D$ elementów dodatnich o następujących własnościach:

1. zbiór $K$ jest sumą trzech zbiorów rozłącznych: $K=-D\cup \{0\}\cup D,$
2. zbiór $D$ jest zamknięty ze względu na dodawanie: $D+D\subset D,$
3. zbiór $D$ jest zamknięty ze względu na mnożenie: $D\cdot D\subset D,$

gdzie $-D=\{-x:x\in D\},$ $D+D=\{x+y:x,y\in D\}$ oraz $D\cdot D=\{x\cdot y:x,y\in D\}$.

Można to wypowiedzieć tak: ciało uporządkowane, to takie ciało, w którym jest określona własność bycia elementem dodatnim (większym od zera, oznaczana przez > 0) o następujących własnościach:

1. Dla każdego $a\in K$ ma miejsce jedna z trzech zależności: $a=0,\,a>0,\,-a>0$
2. Jeśli $a>0$ i $b>0,$ to $a+b>0$
3. Jeśli $a>0$ i $b>0,$ to $a\cdot b$ >0.

• zapis $a>0$ oznacza, że $a\in D$, a zapis $-a>0$ oznacza, że $a\in -D$.
• zapis $a>b$ oznacza, że $a-b>0$.

Własności

• Dla każdych dwóch elementów $a,b\in K$ albo $a=b,$ albo $a>b,$ albo $b>a.$ Zatem relacja > porządkuje liniowo ciało $K.$
• Jeśli $a>0$ i $b<0,$ to $ab<0.$

Dowód: $a>0$ i $-b>0,$ to $-ab>0,$ czyli $-(ab)>0$ a stąd $ab<0.$

• Jeśli $c>0$ i $a>b,$ to $ac>bc.$

Dowód: $ac-bc=(a-b)c>0.$ Dlatego $ac>bc.$

• Jeśli $ac>bc$ i $c>0,$ to $a>b.$

Dowód: $a\neq b,$ bo jeśli $a=b,$ to $ac=bc,$ co jest sprzeczne z założeniem. Jeśli $b>a,$ to $bc>ac,$ co jest sprzeczne z założeniem. Dlatego $a>b.$

• Jeśli $c<0$ i $a>b,$ to $ac<bc.$
• Dla każdego niezerowego elementu $a$ ciała $K$ zachodzi nierówność $a^{2}=a\cdot a>0.$ W szczególności $1^{2}=1>0.$
• $n=\underbrace {1+\ldots +1} _{n{\text{ razy}}}>0,$ czyli ciało uporządkowane musi być ciałem o charakterystyce 0.
• Jeśli $a>0,$ to $a^{-1}>0.$

Dowód: $a\cdot a^{-1}=1>0$ i dlatego $a^{-1}>0.$

• Jeśli $bc>0,$ to ${\frac {b}{c}}>0.$

Dowód: ${\frac {b}{c}}={\frac {bc}{c^{2}}}=bc{\frac {1}{c^{2}}}>0$

Przykłady

• Istnieje nieprzemienne ciało uporządkowane.
• Naturalnymi przykładami ciał uporządkowanych są ciała liczb wymiernych i rzeczywistych.
• Przykłady ciał, które nie mogą być ciałami uporządkowanymi:
  • ciało liczb zespolonych, Dowód: gdyby było ciałem uporządkowanym, to dla niezerowego $a$ znaki liczb $a$ oraz $a^{-1}$ byłyby identyczne. Tymczasem $i^{-1}=-i.$
  • dowolne ciało skończone.

Ciała archimedesowe

W każdym ciele $K$ charakterystyki 0 zanurzony jest pierścień liczb całkowitych $\mathbb {Z} =\{n:n=\underbrace {1+\ldots +1} _{n{\text{ razy}}}\}.$ Ciało uporządkowane jest ciałem charakterystyki 0. Ciało uporządkowane nazywamy ciałem archimedesowym, jeśli dla każdego elementu $a\in K$ istnieje taka liczba całkowita $n,$ że $a<n$.

• Każde ciało archimedesowe jest podciałem ciała liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ z naturalnym uporządkowaniem. W szczególności jest ono przemienne.
• Ciało liczb rzeczywistych $\mathbb {R}$ może być uporządkowane tylko w jeden sposób.

Bibliografia

• ван дер Варден Б.Л.: Алгебра. Москва: Наука, 1976. (ros.). Brak numerów stron w książce
• Эмиль Артин: Геометрическая алгебра. Москва: Наука, 1969. (ros.). Brak numerów stron w książce